Диференціальні рівняння вищих порядків

Механічний зміст задачі Коші.

, , (19)

Зайти ту траекторію механічної системи, яка представляється диференційним рівнянням (19), і має в t0 фіксоване положення x0 і швидкість V0.

Розглянемо питання єдиності та існування розв'язку задачі Коші(2)(16). Єдиність для диференційного рівняння (2) не означає, що через т.М(x0,y0)проходить тільки одна інтегральна крива. Наприклад, для диференційного рівняння (17) єдиність розуміється в тому сенсі, що через т.М(x0,y0) проходить єдина інтегральна крива (мал 2) з заданим нахилом дотичної, а через точку М(x0,y0) можуть проходити і інші інтегральні криві, які мають інші нахили дотичної.

Теорема про достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші (теорема Пікара)

Необхідні умови існування розв'язку задачі Коші (2),(16) – права частина (2) неперервна в околі початкових даних по всім аргументам.

Теорема. Розглянемо задачу Коші (2)(16) Припустимо, що функція f(x,y,y`,…,y(n-1)) визначає в деякій замкненій обмеженій області

R: , , , ,…, (20)(a,b- додатні дійсні числа) і задовільняє в цій області умовам:

Функція f(x,y,y`,…,y(n-1)) є неперервною посвоїм аргументам, а отже обмеженою:

(21)

(тут M>0 –константа );

2) Функція f(x,y,y`,…,y(n-1)) має обмежені часткові похідні по змінним Функція y,y`,…,y(n-1), тобто , l=0,1,2,…,(n-1); (y,y`,…,y(n-1)) ,(22)

де K – константа.

При цих припущеннях диференційне рівняння (2) має єдиний розв'язок, який задовольняє умовам (16) і є неперервним разом з усіма своїми похідними до n-го порядку включно на інтервалі (23)

З теореми випливає, що для поліноміальної правої частини диференційного рівняння (2) розв'язок задачі Коші з довільним початковими умовами існує і є єдиним.

3 Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.

Загальним розв'язком диференційного рівняння назвемо сімейство розв'зків, яке залежить від n довільних констант c1,…,cn

y=y(x, c1,…,cn )(24)

Геометрично воно представляє сімейство інтегральних крівих на площині (x,y), залежне від n параметрів c1,…,cn , причому рівняння цього сімейсва розв'язано відносно y.

Розглянемо область D в просторі (x,y,y`,…,y(n-1)), в кожній точці якої виконуються умови теореми про існування і єдиність задачі Коші.

Озн 2 Функцію (24), визначену в деякій області змінних x, c1,…,cn і яка має частинні похідні по x до n-го порядку включно, будемо називати загальним розв'язком диференційного рівняння (2) в області D, якщо система рівнянь

(25)