Диференціальні рівняння вищих порядків
Від (4.8) перейдемо до наступної системи :
, (9)
Виключаємо в (9) t:
, mydy=-f(x)dx (10)
Припустимо, що при t=t0: x(t0)=x0, y(t0)=y0 і проінтегруємо (4.10) від t0 до t :
(11)
Звідки (12)
Так як є кінетична енергія, а V(x)= -потенціальна, E= +V(x0) – нова енергія, то (12) виражає закон збереження енергії.
+V(x)=E(13)
Співвідношення (13) задають інтегральні криві на площині. Вони будуть різні і залежать від E.
Ми дали механічну інтерпретацію диференційних рівняннянь другого порядку. Зупиняємося на геометричной.
Розглянемо f(x,y,y`,y``)=0 і перепишемо його у вигляді(14)
F(x,y,y`,(1+ )3/2 )= F(x,y,y`, )=0(15)
Поскільки (1+ )3/2 – кривизна кривої, то диференційне рівняння другого порядку являє собою зв'язок між координатами, кутом нахилу дотичної та кривізною в кожній точці інтегральної крівої.
2 Задача Коші, єдиність розв'язку задачі Коші.
Розглянемо диференційне рівняння (2) і поставимо задачу Коші: серед всіх розв'язків диференційного рівняння (2) знайти такий y=y(x), який задовольняє умовам
y(x0)=y0, y`(x0)=y0,…,y(n-1)(x0)=y0n-1 , де x0,y0,y01, y02,…,y0n-1 –задані числа,(15)
x0 – початкове значення незалежної змінної,
y0,y01, …y0n-1 –початкові данні.
Для диференційного рівняння другого порядку
(17)
задача Коші заключається в тому, щоб знайти такий розв'язок диференційного рівняння (17), який би задовольняв умовам:
, .(18)
Геометрично задача полягає в тому, щоб знайти таку криву y=y(x), яка задовольняє диференційне рівняння (18), проходить через точку M(x0,y0) і має заданий напрямок дотичної .(мал 2)