Диференціальні рівняння вищих порядків

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння вищих порядків

1 Основні поняття та означення

Диференційне рівняння n-го порядку не розв’язані відносно похідної має вигляд:

F(x,y,y`,…,y(n-1))(1)

А розв’язане відносно y(n) має форму

y(n)=f(x,y,y`,…,y(n-1))(2)

O.1 Функція y=y(x) визначена і n раз неперервно диференційовна на (a,b), називається розв'язком диференційного рівняння (1), якщо вона на (a,b) перетворює в тотожність :

(3)

Будь-якому розв'язку диференційного рівняння (1) відповідає на площині (x,y) деяка крива, яку будемо називати інтегральною.

2 Динамічна інтерпретація диференційного рівняння другого порядку. Консервативні системи.

Розглянемо нелінійне диференційне рівняння (4) і представимо собі рівняння (5) як рівняння руху частинки з одиничною масою при дії сили мал. 1).

Значення x і в момент t характеризують стан системи на площині (x, ) (мал. 1). Ця площина називається площиною стану або фазовою площиною. Кожному новому стану відповідає нова точка на площині. Траекторія зображаючої точки назавають фазової траекторією, швидкість – фазовою швидкістю.

Від диференційного рівняння (5) можна перейти до системи

, (6)

Можна показати, що система (5), як і більш загальна , ,(7) де , - неперервні функції разом з своїми частинними похідними в деякій області D, мають ту властивість, що, якщо x(t), y(t) – розв'язки системи, то і x=x(t+c), y=y(x+c), де с - довільна константа, теж є розв'язком.

Система (7) називається автономною або стаціонарною.

Якщо система (7) задана на всій площині, то фазові траекторії покриють всю площину і не будуть перетинатися одна з одною. Якщо в деякій точці (x0,y0) , то така точка нази вається особливою. В пожальшому будемо розглядати тільки ізольовані точки, тобто такі, в деякому малому околі яких немає інших особливих точок.

В реальних дінамічних системах енергія розсіюється. Роз сіювання ( дисинація) енергії проходять в зв'язку з наявністю тертя. В деяких системах проходить повільне розсіювання енергії і їм можна знехтувати. Для таких систем має місце закон збереження енергії: сума кінетичної і потенціальної енргії постійна. Такі системи називають консервативними.

Розглянемо консервативну систему:

(8)