ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ

II.

III.

IV.

Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх:

Інваріантність форми диференціала.

Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.

Нехай функції y = f (x) i x = (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ( (t)). Якщо існують похідні ух ' xt ', то

(8)

Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = уx '·dx . Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = yt'·dt.

Заміною похідної уt' її виразом (8) одержимо

але (9)

тому

Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).

Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:

dy = yx'dx

не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи ні; різниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.

Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях.

При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції

або (10)

якщо позначити х = х - х0, то рівняння (10) приймає вигляд

або (11)

Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x0,f(x0), відрізком дотичної до кривої в цій точці:

(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу