Визначені інтеграли. Теорема Ньютона-Лейбніца

 Тоді

До останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє

 де  лежить між  і  Зауважимо, коли  то Отже,

 (остання рівність має місце в силу неперервності функції  Теорема доведена.

            Наслідок.  Довільна неперервна функція має первісну.

            Дійсно, якщо функція  неперервна на відрізку то за теоремою про існування означеного інтеграла існує означений інтеграл , тобто існує функція За теоремою 1 вона є первісною від

            Теорема 2. Якщо  яка-небудь первісна від неперервної функції то справедлива формула

                                                     (4)

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Д о в е д е н н я. Нехай деяка первісна від функції  За теоремою 1 функція також є первісною від функції Але дві довільні первісні від однієї і тієї ж функції відрізняються одна від одної на постійний доданок Отже, ми можемо написати

Ця рівність є тотожністю, а тому вона при відповідному виборі  справедлива для всіх значень  Для визначення покладемо в даній тотожності Тоді

            Отже,

            Поклавши  одержимо формулу Ньютона-Лейбніца:

або, замінивши позначення змінної інтегрування  на одержимо формулу (4).

            Якщо ввести позначення

формулу (4) можна записати так:            Формула Ньютона-Лейбніца дає практичний і зручний метод обчислення визначеного інтеграла в тому випадку, коли відома первісна від підінтегральної функції. Тільки з відкриттям цієї формули визначений інтеграл зміг отримати те значення в математиці, яке він має сьогодні. Обчислення визначеного інтеграла як границю інтегральної суми були відомі ще за часів Архімеда, проте застосування цього методу обмежувалося тими простими випадками, коли вдавалося обчислити ці границі. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює простий зв’язок між первісною та визначеним інтегралом, що значно розширює область застосування визначеного інтеграла до різних задач техніки, механіки, астрономії і т. д.

Приклад. Обчислити інтеграл

Р о з в ’ я з о к. На підставі таблиці основних інтегралів і  формули (4)маємо

            Теорема 3. Нехай  інтегрована на і має скінчену кількість точок розриву першого роду,  – неперервна функція і є первісною від  на інтервалі . Тоді

.

Література