Визначені інтеграли. Теорема Ньютона-Лейбніца

            Якщо  то за доведеною властивістю можна написати

, звідки

50. Нехай на  - інтегрована на . Тоді

,

що очевидно.  Звідси .

Величина називається середнім значенням інтеграла . Очевидно, що між числами   i   знайдеться таке число , що  . Але це число , яке знаходиться між найменшим та найбільшим значенням неперервної функції  повинно бути деяким значенням функції. Звідси ми одержуємо теорему, що носить назву теореми про середнє в інтегральному численні.

60. Теорема (про середнє) . Якщо – неперервна на відрізку   і , то на  знайдеться таке число  , що

    .                                  (2)

70.  Якщо на відрізку , де  функції  і  задовольняють умові  то

                                                          (3)

            Розглянемо різницю

Тут кожна різниця

   Отже, кожний доданок суми невід’ємний, невід’ємна і вся сума, а тому і границя невід’ємна, тобто

            Із (10.4) при одержимо, що для

            80. Якщо  на  - інтегрована і  , то

Формула Ньютона-Лейбніца

           

            Будемо вважати, що нижня границя у визначеному інтегралі  зафіксована, а верхня  буде змінюватися, тобто розглянемо інтеграл  (ми тут позначили змінну границю звичною для нас буквою ). При постійному  цей інтеграл буде функцією від  яку позначимо через

Теорема 1. Якщо неперервна функція і , то має місце рівність

             

            Іншими словами, похідна від інтеграла за верхньою межею дорівнює підінтегральній функції, в яку замість змінної інтегрування підставлено значення верхньої межі.

            Д о в е д е н н я. Надамо аргументу  приросту Тоді одержимо (за властивістю 40 )

Приріст функції  дорівнює