Визначені інтеграли. Теорема Ньютона-Лейбніца

Реферат на тему:

Визначені інтеграли.

Теорема Ньютона-Лейбніца

План

Властивості визначеного інтеграла

Теорема Ньютона-Лейбніца

Властивості визначеного інтеграла

Означення визначеного інтеграла  було до цього часу дане для інтервалу , тобто при . Від цього обмеження звільняє нас наступна властивість:

10.

 Доводять це твердження на основі побудови інтегральних сум, роздроблюючи інтервал  на частини в напрямі від  до  точками на осі  з абсцисами

 де  Якщо перелік точок розбиття вести від  до , матимемо

Для цих двох послідовностей одержимо такі інтегральні суми:

де  - довільна точка з інтервалу

Перейшовши в цих сумах до границі, коли , одержимо

20. .

Доведення легко здійснити , вважаючи  у попередній властивості.

30. Для довільних двох інтегрованих функцій ,  і постійних  має місце рівність

Ця властивість випливає із властивості границь (границя суми дорівнює сумі границь і постійний множник виноситься за знак границі. Ця властивість справедлива для довільного числа доданків.

40. Для довільних трьох чисел справедлива рівність

                          (1)

Доведемо спочатку це твердження для  Побудуємо інтегральні суми на інтервалі  і на інтервалах  і

Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способів розбиття відрізка  на частинки, то ми можемо розбити відрізок  на малі відрізки так, щоби точка  була  точкою поділу. Тоді інтегральну суму по всьому відрізку можна розбити на дві інтегральні суми ( по відрізку  та по відрізку   ):

            Перейшовши в даній рівності до границі при  одержимо співвідношення (1).