”Границя та неперервність функцій багатьох змінних”

функція не визначена в точці ;

функція не визначена в точці , проте:

не існує;

існує, але не дорівнює

Означення. Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо існує, але або не визначена в точці , або

Неперервність складеної (складної) функції двох змінних

Означення. Нехай функція визначена на множині ,а змінні і , у свою чергу, залежать від змінних і : , причому обидві функції та визначені на множині . Якщо для будь-якого існує значення , то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію де ; , --проміжні, , --незалежні змінні.

Приклад. Функція , де Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді

Теорема 1.6. нехай на множині визначено складену функцію , де і нехай функції неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де Тоді складена функція неперервна в точці .

Доведення. За умовою теореми функція неперервна. За означенням неперервності функції в точці візьмемо довільне число , тоді існує , що з нерівності

(5)

випливає нерівність

Аналогічно функції за умовою теореми неперервні, тому існують такі і , що з нерівностей

і

випливають нерівності

(6),(7)

Нехай . Тоді з нерівності

(8)

дістанемо нерівності (6) і (7).

З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо:

.

Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо

,