”Границя та неперервність функцій багатьох змінних”

Реферат

З математики

На тему: ”Границя та неперервність функцій багатьох змінних”

Границя функції двох змінних

Означення. Число А називається границею функцій при якщо для будь-якого існує число , таке що в разі виконання нерівності

,

справджується нерівність .

Позначають:

,

або

.

Наслідок.

Теорема 1.1. Якщо функція має границю при , то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція має границю при то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 1.3. Якщо , і в деякому виколотому околі точки виконується нерівність то .

Наслідок. Якщо у деякому околі точки і існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).

Теорема 1.4. Якщо ,то виконуються нерівності:

1)

2)

3) .

Означення. Якщо , то функція називається нескінченно малою при .

Приклад. Обчислити .

Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

дістанемо:

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.