”Границя та неперервність функцій багатьох змінних”

Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо ( --функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють .Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних наближення до точки можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під кутом до осі

Тощо.

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях.

Очевидно що рівність справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Приклад: довести, що не існує.

Наближаємося до точки (0,0) по прямій

зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при границя дорівнює

при границя дорівнює і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0,0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що не існує.

Зауваження. Для функції змінних можна розглядати ! так званих повторних границь.

У частковому випадку для функції двох змінних можна розглядати дві повторні границі в точці :

Наприклад, для функції маємо

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Скажімо, у попередньому прикладі не існує, але повторні границі існують:

Неперервність функцій двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо

Означення. Функція неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію , визначену на множині , називають неперервною за множиною в точці , якщо

Означення. Точка називається точкою розриву функції , якщо: