Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції

Вираз

,

яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам , і двукратному вузлу . Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом – в пропушенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

.

Тепер проінтегрувавши цю равність від до ; ми знайдемо, що

так як

.

Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)

,

користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді :

.Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді

(16).

При зростанні цей вираз зменьшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.

Додаток 1.

Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC:

'Тут описуються сталі

e = 2.718281828459045#

pi = 3.141592653589793#

'Тут задається від під інтегральної функції

DEF fny# (x#) = e^x# ^2

DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2

DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h#

DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2

DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2