Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції

Ми отримаємо

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули

(10)

Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.

Залишковий член формули прямокутників.

Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в

,

де міститься між та і залежить від .

Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від до , то другий член зправа зникне, бо

(11)

Таким чином, отримаємо

,

так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд

.

Позначив через і , відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції у проміжку і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати

,

де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно

. (12)

Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точную формулу

.