Різницевий метод розв'язування звичайних диференціальних рівнянь. Апроксимація. Метод прогонки

80.875000.055000.04

90.888890.031110.01

100.90.01000

До питання про існування розв'язку різницевої схеми

На сітці х0, х1…хN , x0=a, xn=b, h=(b-a)/n апроксимуємо різницевою схемою

Різницева схема (3-4) має єдиний розв'язок, якщо відмінний від 0 її детермінант

Ця умова (7) не зручна для перевірки, тому існування розв'язку доводять використовуючи теорему:

Теорема (дискретний принцип максимуму)

Нехай 1) p(x), g(x), f(x) – достатньо гладкі функції;

2) g(x) 0 на [a, b]

3) h настільки мале, що

Тоді, якщо у внутрішніх точках проміжку [a,b] виконується умова , то ф-ція uh не може приймати max додатнього (min від'ємного) значення у внутрішніх точках [a, b], за винятком випадку, коли u(h) стала на [a, b].

Оскільки (3,4) є системою лінійних р-нь, і якщо відповідна тривіальна система має лише тривіальний розв'язок, то різницева схема (3,4) має єдиний розв'язок. Те що однорідна система має лише тривіальний розв'язок доводять від супротивного використовуючи попередню теорему.

Схему (3,4) можна записати у вигляді

і її можна розв'язувати ітераційним методом.

Якщо g(x)<0, то із (6) , тобто ітераційний процес (8) збіжний.

Збіжність і стійкість

апроксимуємо її різницевою

Означення:

(3,4) апроксимує (1,2) з порядком апроксимації К, якщо , що виконуються співвідношення:

Означення:

Різницева схема (3-4) стійка, якщо що

Теорема. Якщо різницева схема (3,4) стійка і апроксимує крайову задачу (1),(2) з порядком апроксимації К, то розв'язок різницевої схеми збігається до розв'язку крайової задачі при , причому порядок збіжності рівний К.

Завдання №