Різницевий метод розв'язування звичайних диференціальних рівнянь. Апроксимація. Метод прогонки

Розглянемо задачу:

[0, 1] розіб'ємо на n частин, ,

Розглянемо розклади

Із (3),(4) одержимо

(5),(6),(7) – різницеві співвідношення, які апроксимують 1,2 похідну. Використовуючи різницеві співвідношення (5),(6),(7) апроксимуючи оператори L, l одержимо задачу:

Щоб порівнювати фунції u(h) i u, f(h) i f, введем норму

Означення 1:

Оператор Lh (l) апроксимує на функції u оператор L (l) з порядком апроксимації К, якщо , що має місце:

Означення 2:

fh ( ) апроксимує f ( ) з порядком апроксимації К, якщо , що має місце:

Означення 3:

Різницева схема (8), (9) апроксимує крайову задачу (1), (2) з порядком апроксимації к, якщо виконуються умови (10-13).

Розглянемо апроксимацію оператора крайових або початкових умов.

Відзначимо, що розв'язок задачі (14-15) задовільняє і ряд тривіальних умов. Наприклад:

Оператор апроксимуєм різницевим оператором

Враховуючи, що , одержимо:

, тобто

Щоб одержати апроксимацію вищого порядку, треба використовувати тривіальні умови

Використаємо тривіальні умови для визначення ; із рівняння

Замість задачі (14), (15) можем розглядати задачу

тому, що розв'язок задачі (14-15) однозначно визначається умовами (14), (16).

Для підвищення порядку апроксимації можна користуватись ще формулами:

Метод прогонки

Виберемо сітку х0, х1…хN , x0=a, xn=b, h=(b-a)/n

Різницеву схему (3), (4) перетворимо до вигляду: