Особливості математичних методів, застосовуваних для вирішення економічних задач

Метод лінійної оптимізації з того моменту, як він був розроблений Канторовичем, не залишався без змін, він розвивався і продовжує розвиватися. Наприклад, формула (2) у сучасній інтерпретації виглядає в такий спосіб.

 aij xj < bi (i  I) (3)

j A1

У чому ж відмінність?

По-перше обмеження записується не більше, або дорівнює , а менше, або дорівнює, що більше відповідає економічному змісту правої сторони обмеження (bi - кількість ресурсів). У Канторовича ж ресурс записується - bi = :bi: - тобто негативним числом, що для економічного складу розуму неприродно ( як може бути ресурсу менше нуля).

По-друге, підсумовування робиться не по всіх способах виробництва, а лише по визначеній їх підмножині (j ( A1), що також відповідає економічним реаліям, коли по технологічним, або іншим причинам не всі способи виробництва беруть участь у якому конкретному обмеженні.

Аналогічно і з ресурсами, в обмеженні беруть участь не всі ресурси відразу , а яка їхня підмножина (i ( I).

Введенням підмножин не обмежилося удосконалювання методу лінійної оптимізації. Потреби практики змусили розробити ще цілий ряд прийомів і методів для різних випадків опису реалій господарської практики у виді обмежень. Це такі прийоми, як запис обмежень по використанню виробничих ресурсів, запис обмежень по гарантованому об'ємі робіт або виробництва продукції, прийоми моделювання при невідомих значеннях показників і багато хто інші, на котрих тут не варто зупинятися.

Ціль усіх цих прийомів - дати більш розгорнуту модель якогось явища з господарської практика, зекономивши при цьому на кількості змінних і обмежень.

Незважаючи на широту застосування методу лінійного програмування, він враховує лише три особливості економічних задач - велика кількість перемінних, обмеженість ресурсів і необхідність цільової функції. Звичайно, багато задач з іншими особливостями можна звести до лінійної оптимізації, але це не дає нам права випустити з уваги інший добре розроблений метод математичного моделювання - динамічне програмування. По суті, задача динамічного програмування є описом багатокрокових процесів прийняття рішень. Задача динамічного програмування можна сформулювати в такий спосіб :

є деяка кількість ресурсу х, що можна використовувати N різними способами. Якщо позначити через хi кількість ресурсу, використовувана i-m способом, то кожному способові зіставляється функція корисності (хi), що виражає прибуток від цього способу. Передбачається, що всі прибутки вимірюються в однакових одиницях і загальному прибутку дорівнює сумі прибутків, отриманих від використання кожного способу.

Тепер можна поставити задачу в математичній формі. Знайти

max y1(x1)+ y2(x2)+ ... + yn(xn) (4)

(загальний прибуток від використання ресурсів усіма способами) при умовах:

- що виділяються кількості ресурсів невідємні;

[1] x1 > 0,... , x > 0

- загальна кількість ресурсів дорівнює x .

[2] x1 + x2 + ... + x = x