Коефіцієнт кореляції та детермінації

Побудова кореляційних моделей дає можливість вивчати залежність економічних показників, що не зв’язані між собою функціонально. Кореляційний зв’язок на відміну від функціонального проявляється лише взагалі та в середньому і тільки в масі спостережень.

Кореляційний аналіз вирішує два завдання:

1) визначення форми зв’язку, тобто встановлення математичної формули, яка описує даний зв’язок;

2) вимірювання щільності зв’язку.

У найпростішому випадку вивчається зв’язок між двома показниками, один з яких розглядається як незалежний показник – факторна ознака (х), а інший – як залежна величина, результативна ознака (у). Це є так звана “парна кореляція”. В загальному вигляді вона описується функцією у=ƒ(х).

Попередньо вид математичної функції встановлюється за допомогою якісного аналізу зв’язку між явищами та графічного його зображення у вигляді кореляційного поля.

Кореляційне поле – це сукупність точок у прямокутній системі координат, абсциса кожної з яких відповідає значенню факторної ознаки (х), а ордината – значенню результативної ознаки (у) певної одиниці спостереження. Кількість точок на графіку відповідає кількості одиниць спостереження. Напрямленість кореляційного поля вказує на наявність прямого, зворотного зв’язку між ознаками, або його відсутність, а також на форму лінії регресії (пряма лінія, парабола, гіпербола тощо).

Після того, як визначені невідомі параметри регресійної моделі спробуємо оцінити щільність зв’язку між залежною величиною у і незалежною х. Тобто спробуємо відповісти на запитання, наскільки значним є вплив змінної х на у. Чи є якийсь критерій, який дозволяє кількісно оцінити цей вплив? Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками є коефіцієнт кореляції (для прямолінійного зв’язку). Він розраховується за такою формулою:

Щільність зв’язку між ознаками вимірюється за допомогою коефіцієнта кореляції (для прямолінійного зв’язку) та індексу кореляції (для криволінійного зв’язку).

Коефіцієнт кореляції може бути обчислений також за формулою:

,

де – середній добуток ознак х та у;

– середнє значення ознаки відповідно х і у;

σх – середнє квадратичне відхилення ознаки х; σу – середнє квадратичне відхилення ознаки у.

; ,

Коефіцієнт кореляції на відміну від коефіцієнта коваріації є вже не абсолютною, а відносною мірою зв’язку між двома ознаками, тому він може набувати значення від -1 до +1. Чим ближче значення r до ±1, тим щільніший зв’язок. Знак “+” вказує на прямий, а знак “-“ – на зворотний зв’язок. При r=0 зв’язок відсутній.

Поряд з коефіцієнтом кореляції використовується ще один критерій, за допомогою якого також вимірюється щільність зв’язку між двома або більше показниками та перевіряється адекватність (відповідність) побудованої регресійної моделі реальній дійсності. Тобто дається відповідь на запитання, чи дійсно зміна значення у лінійно залежить саме від зміни значення х, а не відбувається під впливом різних випадкових факторів. Таким критерієм є коефіцієнт детермінації.