Алгоритм Дейкстра

Характеристики графів, інваріантні відносно ізоморфизмов графів (тобто приймаючі однакові значення на ізоморфних графах), називаються інваріантами графів.

Підрозділом ребра (v1,v2) графи називається операція додавання в граф вершини v' і заміни цього ребра на два суміжних ребра (v1,v') і (v',v2): V'=V+{v'}, E'=E-{(v1,v2)}+{(v1,v')}+{(v',v2).

Граф G' називається підрозділом графа G, якщо він може бути отриманий з G шляхом кінцевого числа підрозділів ребер.

Дві графи називаються гомеоморфними, якщо для них існують ізоморфні підрозділи.

Шляхи і цикли

Шляхом у графі (чи маршрутом в орграфі) називається послідовність вершин, що чергується, і ребер (чи дуг - в орграфі) виду v0, (v0,v1), v1, ... , (vn-1,vn), vn. Число n називається довжиною шляху. Шлях без повторюваних ребер називається ланцюгом, без повторюваних вершин - простим ланцюгом. Шлях може бути замкнутим (v0=vn). Замкнутий шлях без повторюваних ребер називається циклом (чи контуром в орграфі); без повторюваних вершин (крім першої й останньої) - простим циклом.

Твердження 1. Якщо в графі існує шлях, що веде з вершини v0 у vn, то існує і простий ланцюг між цими вершинами.

Доказ: такий простий ланцюг можна побудувати, "викинувши" зі шляху всі цикли.

~

Граф називається зв'язковим, якщо існує шлях між будь-якими двома його вершинами, і незв'язним - у противному випадку. Незв'язний граф складається з декількох зв'язних компонентів (зв'язкових підграфов).

Для орграфів поняття св'язаність є більш складним: розрізняють сильну св'язаність, однобічну звязність і слабку зв’язність. Орграф називається сильно зв'язковим, якщо для будь-яких двох його вершин v і u існує як маршрут з v у u (v->u), так і з u у v (u->v). Орграф називається односторонньо зв'язковим, якщо для будь-яких двох його вершин u і v існує по крайньої один з маршрутів v->u чи u->v. Нарешті, орграф називається слабко зв'язковим, якщо зв'язний неорієнтований граф, одержуваний з цього орграфа шляхом зняття орієнтації з дуг. Очевидно, що будь-який сильно зв'язний граф є односторонньо зв'язковим, а односторонньо зв'язний - слабко зв'язковим, але не навпаки.

Дерева

Деревом називається довільний зв'язний граф без циклів.

Лема 1. Нехай G=(V,E) - зв'язний граф, вершини v1 і v2 якого не суміжні. Тоді в графі G'=(V,E+(v1,v2)) існує простий цикл, що проходить через ребро (v1,v2).

Доказ: тому що G - зв'язний, у ньому існує шлях з v2 і v1, а значить (по утвержденю 1),і простий ланцюг v2...v1. Отже, у графі G' існує шлях v2...v1(v1,v2)v2, що є простим циклом (по визначенню).

~

Лема 2. Нехай G=(V,E) - зв'язний граф, ребро e=(v1,v2) якого входить у деякий цикл. Тоді граф G'=(V,E-e) - також зв'язний, тобто при видаленні кільцевого ребра (ребра, що входить у деякий цикл) зі зв'язного графа цей граф залишається зв'язковим.

Доказ: тому що G - зв'язний, у ньому існує шлях S між будь-якими двома вершинами vi і vj. Якщо e не входить у шлях S=vi...vj, то цей шлях існує й у графі G', а виходить, G' залишається зв'язковим. Інакше (e входить у цей шлях): S=vi...v1(v1,v2)v2...vj. За умовою e - входить у деякий цикл, отже, існує замкнутий шлях C=v2(v2,v1)v1Tv2 (початком замкнутого шляху ми можемо вважати будь-яку його вершину), причому ребро e=(v1,v2) не входить у T (якщо існує шлях між вершинами, то існує і шлях, що є простим ланцюгом - див. утвердження 1). Але тоді існує шлях S'=vi...v1Tv2...vj, у котрій не входить ребро e=(v1,v2) і, отже, цей шлях існує в графі G'.