Алгоритм Дейкстра

Потужність найменшого ДМР називається числом реберного покриття графа; позначення - (G).

На малюнку позначені реберне покритті графа (пунктиром), МНМВ (білі вершини) і верхове покриття (чорні вершини).

Величини (G), (G), (G) і (G) є інваріантами графа. Між цими інваріантами існує зв'язок, установлювана наступними лемами.

Лема 1. Безліч S є найменшим верховим покриттям графа G=(V,E) тоді і тільки тоді, коли T=V(G)\S є найбільшою незалежною безліччю вершин графа.

Доказ:

(=>)

1. доведемо, що ніякі дві вершини, що входять у T, не інцидентні (тобто T є НМВ). Допустимо зворотне: (vi,vj)E(G), viT, vjT. Але це означає, що ребро (vi,vj) не покривається безліччю S - протиріччя з визначенням ВП.

2. T є найбільшим НМВ у силу мінімальності |S| і тотожності |S| + |V(G)\S|  |V(G)|.

(<=)1. доведемо, що кожне ребро G інцидентне хоча б одній вершині S (тобто S є ВП). Допустимо зворотне: (vi,vj)E(G), viS, vjS. Але це значить, що viT, vjT - протиріччя з визначенням НМВ.

2. аналогічно доказу (=>).

~

Наслідок 1 леми 1. Для будь-якого графа G=(V,E) сума числа верхового покриття і верхового числа незалежності постійна і дорівнює кількості вершин G: (G)+(G)=|V(G)|.

Лема 2. Якщо граф G=(V,E) не має ізольованих вершин, то сума його числа паросполучення і числа реберного покриття постійна і дорівнює кількості вершин G: (G)+(G)=|V(G)|.

Доказ:

1) Нехай C - найменше реберне покриття G, що містить (G) ребер. Розглянемо підграф GC графа G, утворений безліччю ребер C і інцидентними вершинами G; по визначенню покриття в нього входять усі вершини G. Оскільки C є найменшим, GC складається з однієї чи більшої кількості компонентів, кожна з який є деревом (дійсно, у противному випадку можна було б "викинути" з них кільцеві ребра й одержати покриття меншої потужності). По теоремі 2 кількість ребер у кожнім компоненті GSi графа GC на одиницю менше кількості вершин: |E(GCi)| = |V(GCi)| - 1. Просуммировав ці рівності для всіх i, одержимо: |E(GC)| = |V(GC)| - p, де p - кількість компонентів у GС, отже, p = |V(G)| - (G). З іншого боку, якщо взяти по одному ребру з кожного компонента GC, одержимо деяке паросполучення, отже, (G)  p = |V(G)| - (G) і (G) + (G)  |V(G)| (*).

2) Нехай M - найбільше паросполучення G, що містить (G) ребер. Розглянемо безліч U вершин графа G, не покритих М. З визначення паросполучення випливає, що |U| = |V(G)| - 2|M| = |V(G)| - 2(G). Безліч U є незалежним (дійсно, якби дві довільні вершини U "зв'язувалися" ребром, то можна було б додати це ребро M і одержати паросполучення більшої потужності). Оскільки G за умовою не має ізольованих вершин, для кожної вершини, що входить у U, існує ребро, що покриває неї. Позначимо безліч таких ребер через S. Безлічі M і S не перетинаються, тому |M  S| = |M| + |S| = (G) + |U| = |V(G)| - (G). Об'єднання M і S є реберним покриттям графа по визначенню, отже, (G)  |M  S| = |V(G)| - (G) і (G) + (G)  |V(G)| (**).

З нерівностей (*) і (**) випливає результат леми.

~