Алгоритм Дейкстра

Подальші результати справедливі тільки для двочасткових графів.

Теорема 1 (мінімаксная теорема Кеніга). Якщо граф G є двочастковим, то (G) = (G).

(без доказу)

Визначення: зроблене паросполучення (1-фактор) - паросполучення, що покриває усі вершини графа.

Нехай X - довільна підмножина вершин графа G=(V,E). Позначимо через (X) безліч вершин G, інцидентних вершинам X.

Теорема 2 (теорема про весілля). Якщо G - двочастковий граф з частками P1 і P2, то G має зроблене паросполучення тоді і тільки тоді, коли |P1| = |P2| і, принаймні, одне з Pi (i=1..2) володіє тим властивістю, що для будь-якого X Pi виконується нерівність |X|  |(X)|.

(без доказу)

Назва теореми зв'язана з наступною "несерйозною" задачею: визначити, чи можливо "переженити" групу юнаків і дівчин так, щоб усі залишилися задоволені. Якщо допустити, що всі "симпатії" взаємні (припущення, прямо скажемо, нереалістичне), то задача зводиться до перебування зробленого паросполучення в двочастковому графі, вершини однієї з часток якого відповідають юнакам, іншої - дівчинам, і дві вершини зв'язані ребром тоді і тільки тоді, коли юнак і дівчина подобаються один одному.

2.Задача знаходження мінмального шляху в графах:

Алгоритм Дейкстра

Розглянемо задачу про найкоротший шлях. Нехай G=(V,E) - зважений зв'язний граф з ненегативними вагами ребер (дуг). Вага f(e) ребра e інтерпретуємо як відстань між вершинами, суміжними даному ребру. Для заданої початкової вершини s і кінцевої вершини t шукається простий ланцюг, що з'єднує s і t мінімальної ваги. (s,t) - ланцюг мінімальної ваги називають найкоротшим (s,t) - шляхом. Очевидно, рішення задачі існує. Опишемо один з можливих алгоритмів рішення (Е. Дейкстра, 1959 р.).

Ініціалізація:

1.усім вершинам vi приписується мітка - речовинне число: d(s)=0, d(vi)=+ для всіх vis;

2.мітки усіх вершин, крім s, вважаються тимчасовими, мітка s - постійної;

3.вершина s з'являється поточної (c:=s);

4.усі ребра (дуги) вважаються непоміченими.

Основна частина:

1.для усіх вершин uj, інцидентних поточній вершині c, мітки яких є тимчасовими, перераховуємо ці мітки по формулі: d(uj):=min{d(uj), d(c)+Weight(c,uj)} (*), де (c,uj) - ребро (дуга), що з'єднує вершини c і uj, а Weight(c,uj) - її вага; при наявності кратних ребер вибирається ребро з мінімальною вагою;

2.якщо мітки усіх вершин є постійними або рівні , те шлях не існує; ВИХІД("немає рішення");3.інакше знаходимо серед вершин з тимчасовими мітками (серед усіх таких вершин, а не тільки тих, чиї мітки змінилися в результаті останнього виконання кроку (1)!) вершину x з мінімальною міткою, повідомляємо її мітку постійної, позначаємо ребро (дугу) (с',x), таке, що d(x) = d(с')+Weight(с',x), де с'=з або с' - вершина, що була поточної на одному з попередніх кроків (с'=з, якщо на кроці (1) при uj=x реалізувалася друга частина формули (*)), і робимо цю вершину поточної (c:=x);