Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння величин. Еквівалентні нескінченно малі в

Нехай маємо дві послідовності :

(5.8)

та

(5.9)

Тоді додавання, віднімання та множення послідовностей (5.8), (5.9) виконуються додаванням, відніманням чи множенням відповідних членів цих послідовностей.

Якщо всі то частка від ділення послідовності (5.8) на послідовність (5.9) визначається як послідовність члени якої

Символічно ці дії познаються так:

Теорема 2. Алгебраїчна сума двох нескінченно малих є нескінченно мала.

Наслідок 1. Алгебраїчна сума скінченої множини нескінченно малих є нескінченно мала.

Теорема 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на послідовність обмежену є нескінченно мала числова послідовність.

Наслідок 2. Добуток сталої величини на нескінченно малу числову послідовність є нескінченно мала числова послідовність.

Наслідок 3. Добуток скінченого числа нескінченно малих числових послідовностей є нескінченно мала числова послідовність.

5. Основні теореми про границі

Наведемо теореми, якими користуються для знаходження границі числових послідовностей.

Теорема 1. Алгебраїчна сума двох збіжних послідовностей і є збіжна послідовність, її границя дорівнює відповідній сумі границь даних послідовностей.

Д о в е д е н н я. Нехай Тоді

де і - нескінченно малі послідовності.

Додавши почленно ці рівності, дістанемо:

Отже, вираз ми подали у вигляді суми сталого числа

і нескінченно малої Тому існує та

Зауваження . Теорема справедлива й для випадку всякого скінченого числа збіжних числових послідовностей.

Теорема 2. Добуток двох збіжних послідовностей і є збіжна послідовність, її границя дорівнює добутку границь даних послідовностей.

Д о в е д е н н я. За умовою теореми

Тому де - нескінченно малі послідовності.