Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння величин. Еквівалентні нескінченно малі в

Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні, не зростаючі послідовності.

Означення . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто для кожного

Приклад. У послідовності кожний наступний член більший від попереднього. Отже, задана послідовність є зростаюча.

Означення . Послідовність називається неспадною, якщо для кожного

Приклад. Якщо покласти ( означає функцію рантьє), то дістанемо неспадну послідовність .

Означення . Послідовність називається спадною, якщо

для кожного

Приклад. Послідовність є спадна.

Означення . Послідовність називається незростаючою, якщо для кожного .

Приклад . Якщо взяти то дістанемо незростаючу послідовність.

Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей.

Означення . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число таке, що для всякого виконується нерівність .

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує дійсне число таке, що для всіх виконується нерівність

Приклади .

1. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену зверху , оскільки

2. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену знизу, оскільки

Означення . Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, у противному разі – необмеженою.

Приклади .

1. Нехай Послідовність

є обмежена

Послідовність не є обмежена .

Наведемо ще такі формулювання означення обмежених та необмежених послідовностей .

Послідовність називається обмеженою, якщо для всіх

Покладемо Послідовність називається обмеженою, якщо

Послідовність називається необмеженою, якщо