СУДЖЕННЯ
Р(х), Р(х, у), Р(х, у, z) і т. д., де х, у, z — предметні змінні (аргументи), а Р — предикат, який виражає конкретну властивість або відношення.
Поняття про квантори
У традиційній (аристотелівській) логіці для вираження кількості судження використовують слова: "всі", "жоден", "кожен", "деякі" тощо. Наприклад, загальне судження "Всі метали — провідники" записують у вигляді формули так: "Всі S є Р".
Математична логіка увела для кількісної характеристики суджень (висловлювань) спеціальні оператори, що дістали назву кванторів (від латинського слова quantum — скільки).
Квантори бувають двох видів: квантор існування і квантор спільності.
Квантор спільності означає вислів: "Для усякого (всіх) х”. Позначається він знаком — х.
Квантор існування позначає ствердження: "Існують такі х". Відображається знаком — х.
Використовуючи квантори, ми можемо виразити у символах математичної логіки всі чотири типи судження (А, Е, І, 0} за кількістю і якістю. Загальноствердні судження А ("Всі S є Р") можуть бути записані так: х (якщо х є S, то х є Р), або коротше: х (S(х)—>Р(х)), де знак "–>" позначає сполучник "якщо... ...то". Цей вираз читається так: "Якщо усякий предмет володіє властивістю S, то він володіє і властивістю Р", або "Всі S є Р", Наприклад, судження "Будь-який договір є угода" ("Всі S є Р") можна записати так: х (якщо х — договір, то х є угода"). Читається цей вислів так: "Будь-який предмет х, який володіє властивістю договору, володіє і властивістю угоди".
Загальнозаперечне судження Е ("Жодне S не є Р") можна виразити так: х (якщо х є S, то х не є Р), або коротше:
х(S(х) –> Р(х)).
Знак "—“, поставлений над виразом Р(х), означає заперечення Р(х). У цілому ця формула читається так: "Будь-який предмет х, який має властивість S, не володіє властивістю Р", або "Жодне S не є Р".Наприклад, таке конкретне судження, як "Жоден свідок у справі I. не знав потерпілого" ("Жодне S не є Р "), записується так: AХ (якщо х — свідок у справі І., то х не знав потерпілого), яке читається: "Для будь-якого х правильно, що коли він володіє властивістю бути свідком у справі І., то він не володіє властивістю знати потерпілого". У цьому прикладі х належить до області людей.
Частковоствердне судження ("Деякі S не є Р") може бути виражене так:
х (хєS і xєР).
Якщо у цій формулі сполучник "і" замінити знаком , то вона матиме такий вигляд:
х(S(х) Р(х)).
Читається цей вираз так: "Існує предмет х, який має властивість S і Р, або «Деякі S є Р».
Наприклад, якщо судження "Деякі договори є відплатні записати за допомогою квантора існування ( х ) у вигляді формули, то матимемо " х (х — договір і х — відплатний)".Читається цей вираз так: "Існує предмет х, який має властивість договору і властивість відплатності". У нашому прикладі х взятий із області юридичних угод.
Частковозаперечне судження І ("Деякі S не є Р") можна записати так: х (х(S i x: не є Р), або ( х (S(x) Р(х)). Читається цей вираз так: "Існують такі х, котрі мають властивість студентів і не мають властивості відмінників".
Поділ суджень за модальністю