Алгебра висловлень

Наведемо приклади пар рівносильних формул:

(AB) = ((A)B), ((AB)) = ((A)(B)), ((AB)) = ((A)(B)),

(A(BC)) = ((AB)(AC)), (A(BC)) = ((AB)(AC))

тощо.

Ці рівносильності та подібні до них легко перевірити обчисленням таблиць істинності відповідних функцій для лівих і правих частин і порівнюванням цих таблиць.

Цей простий метод може бути застосований для перевірки рівносильності або нерівносильності будь-яких формул A і B довільної складності. Відтак, на перший погляд може здатися, що проблема встановлення рівносильності або нерівносильності формул алгебри висловлень є розв’язаною і до того ж найпростішим чином і отже, всі подальші дослідження у цьому напрямку є непотрібними.

Наведемо лише два міркування, які демонструють, що перше враження є обманливим.Перше міркування пов’язане з тим, що коли кількість пропозиційних змінних у досліджуваних формулах є значною, то застосування зазначеного простого методу може стати практично нездійсненним. Адже, вже для 30 змінних необхідно випробувати по більш ніж 109 наборів значень змінних для кожної формули. Це тільки кількість кроків загальної процедури, а крім того, слід врахувати трудомісткість обчислення значень функцій інстинності даних формул на кожному з наборів.

По-друге, - і це міркування, певно, є важливішим, - в алгебрі висловлень у більшості випадків цікавляться не рівносильністю двох будь-яких заданих формул, а рівносильністю нескінченної множини пар формул. Потрібні твердження, згідно яких усі формули певного типу є рівносильними відповідно формулам певного іншого типу. Якщо множини формул обох цих типів є нескінченними, то подібні твердження, очевидно, не можуть бути встановлені жодним методом, що спирається на побудову таблиць інстинності, а потребують загальних міркувань.

Зокрема, однією з основних проблем алгебри висловлень є проблема опису класу всіх тавтологій (тобто тотожно істинних формул), яка носить назву проблеми розв’язності. Простішим варіантом цієї проблеми є така: вказати правило перевірки скінченним числом дій тотожної істинності певної формули.

Проблема розв’язності займає важливе місце в математичній логіці. До проблеми розв’язності зводиться багато різних задач математичної логіки.

Наприклад, до проблеми розв’язності може бути зведена обговорювана вище проблема перевірки рівносильності заданих формул A і B.

Легко довести таку теорему.

Теорема 1. Формули алгебри висловлень A і B рівносильні тоді і тільки тоді, коли формула ((AB)(BA)) є тавтологією.

З метою скорочення запису формул, подібних до формули з наведеної теореми, до сигнатури алгебри висловлень вводять додаткову операцію, що позначається ~ і означається так: (A~B) є скороченим записом формули ((AB)(BA)).

Отже, останню теорему можна сформулювати так.

Формули A і B рівносильні тоді і тільки тоді, коли формула (A~B) є тотожно істинною.

Разом з відношенням рівносильності на множині формул алгебри висловлень, яке є, як зазначалось, відношенням еквівалентності, розглядають також деякі інші відношення, що являють собою інтерес для логіки та її застосувань. Серед останніх виділимо відношення логічного слідування, яке є відношенням часткового порядку на множині формул алгебри висловлень.