Обчислення визначника методом Гауса

Використання цих властивостей дає змогу замінити обчислення визначників високих порядків за формулою на простіше.

Мінором Мik , що відповідає елементу аik(1 і,k n) матриці називається визначник, який відповідає матриці, утвореній з матриці викреслюванням і – го рядка та k – го стовпця.

Алгебричним доповненням Аik елемента аik(1 і, k n) матриці називається відповідний мінор, взятий зі знаком „плюс”, якщо сума його індексів парна, і зі знаком „мінус”, якщо сума його індексів непарна :

Аik =( -1)i+kМik.

Теорема 3.1. Значення det(A) визначника, що визначає матрицю, дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або довільного стовпця на відповідні алгебричні доповнення :

det(A)=ai1Ai1+ai2Ai2 +…+ainAin(i=1, 2,…,n);

det(A) =a1kA1k+a2kA2k+…+ankAnk(k=1,2,…,n).

Доведемо теорему стосовно визначника третього порядку. Формула дає

det(A)=a11(a22a33-a23a32)+a12[-(a21a33-a23a31)]+a13(a21a32-a22a31)=a11A11+a12A12+a13A13 .

Аналогічно

det (A)=a21A21+a22A22+a23A23=…=a13A13+a23A23+a33A33.

Доведена теорема дає можливість звести обчислення визначника n – го порядку

(n 3) до визначника (n–1)–го порядку. Формули називають формулами розкладання визначника за елементами і–го рядка (k–го стовпця).

Теорема 3.2. Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) матриці на алгебричні доповнення відповідних елементів іншого її рядка (стовпця) дорівнює

нулю :

ai1 Aj1+ai2 Aj2+…+ain Ajn=0(i j ;j=1,2,…,n);

a1k A1s+a2k A2s+…+ank Ans=0(k s; s=1,2,…,n).

Текст програми на мові Turbo Pascal.

Uses crt;

const n=4;

var

m,v,vv,mm:array [1..n,1..n] of real;

I,j:integer;k,d:real;