Обчислення визначника методом Гауса

визначник може бути зображений у вигляді суми двох визначників, у яких один

у згаданому рядку має перші з заданих доданків, а інший – другі; елементи, що

знаходяться на решті місць, у всіх трьох визначниках одній й ті самі. Для доведення цієї властивості досить застосувати правило трикутника до всіх записаних тут визначників і порівняти одержані результати.

8.Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи

іншого рядка, помножені на довільний спільний множник, то значення визначника при цьому не зміниться.

Ця властивість є наслідком властивостей 6 і 7.

Визначники довільного порядку.

У формулі стосовно визначника третього порядку є шість доданків у вигляді добутків трьох елементів матриці, що містять

по одному елементу з її кожного рядка і кожного стовпця. У кожного з цих добутків співмножники розміщено в порядку зростання першого індекси утворюють різноманітні перестановки з чисел 1,2,3.

Нехай j=(j1,j2,j3) – перестановка, де j1 ,j2 ,j3 – числа 1,2,3, розміщені в певному порядку.Інверсією в перестановці j називають той факт, що більше число передує меншому. Число інверсій у перестановці j позначимо символом а(j).Перестановка

називається парною, якщо а(j) – парне число, і непарною - у протилежному випадку. Наприклад, перестановка (2,3,1) – парна, оскільки а(2,1,3)=1.

Неважко помітити, що до правої частини формули зі знаком „плюс» входять ті добутки, в яких другі індекси елементів матриці утворюють парну перестановку,

і зі знаком „мінус добутки, в яких другі індекси елементів матриці утворюють

непарну перестановку. Це дає можливість дати ще таке означення визначника

третього порядку : визначником третього порядку, що відповідає матриці, називається число, яке визначається рівністю

А= = .

де підсумовування поширюється на всі можливості перестановки j=(j1,j2,j3) других індексів. Це означення легко узагальнюється на випадок квадратної матриці

А= .

довільного порядку n(n є N).

Визначником n–го порядку, що відповідає матриці називається число, яке визначається рівністю

А= =

де підсумовування поширюється на можливі перестановки j=(j1,j2…jn) других індексів.

Зазначимо без доведення, що розглянуті вище властивості 1–8 визначників другого та третього порядків справджується для визначників довільного порядку.