Виведення формули Сімпсона

Тоді , де .

Оскільки f(iv)(x) не перервна на відрізку [a;b], то існує точка така, що .

Таким чином дістанемо узагальнену формулу Сімпсона із залишковим членом вигляду:

. 4

Залишковий член узагальненої формули Сімпсона:

5

Звідси дістаємо таку оцінку абсолютивної похибки чисельного інтегрування за узагальненою формулою Сімпсона:

,

6Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з точністю , то відповідний крок інтегрування визначається нерівністю , або, що те саме відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин, де

7

За узагальненою формулою Сімпсона обчислимо наближене значення інтеграла з кроком h=0.1 і оцінимо повну абсолютну похибку .

Користуючись цією таблицею

kxkfk=f(xk)kxkfk=f(xk)

00060,60,4952014

10,10,099500470,70,5355896

20,20,196013380,80,5573654

30,30,286601090,90,5594490

40,40,3684244101,00,5403023

50,50,4387913

за формулою знайдемо: Іан = 0,38177448 ≈ 0,3817745.

Щоб оцінити залишковий член R(f) формули Сімпсона за формулою , треба знайти похідну четвертого порядку функції f(x)=xcosx. Маємо: , звідки

Тому для залишкового члена R(f) за формулою 6 (a=0;b=1;h=0.1M4=5)дістанемо |R(f)|≤0.278х10-5.

Похибка остаточного округлення ∆0=0.2х10-7, а неусувна похибка , бо , а значення підінтегральної функції f у вузлах xk(k=0.1,…,10) обчислювали з точністю 0.5х10-7 тобто ∆f=0.5х10-7.

За формулою для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку: