Виведення формули Сімпсона

Відомо топологічною задачею є проблема 4-рьох фарб. Ця гіпотеза була підтверджена в 1976 р. американським математиком Аппелем і Хакеном за допомогою ЕОМ.

Виведення формули Сімпсона.

Щоб побудувати триточкову квадратурну формулу з рівновіддаленими вузлами для обчислення наближеного значення , де f(x) – неперервна на [x0-h; x0+h] разом зі своїми похідними до четвертого порядку включно, можна використати інтерполеційний многочлен Лагранжа 2-го порядку, графік якого проходить через точки (x0-h; f(x0-h)),(x0; f(x0)) і (x0+h; f(x+h)) і проінтегрувати його по х у межах від х0-h до x0+h.

Проте таку квадратурну формулу будуватимемо тут, користуючись методом невизначених коофіцієнтів. Цей метод, крім того, дає змогу досить просто обчислити її залишковий член. Отже, побудуємо квадратурну формулу вигляду: 1, де А і В – невідомі коофіцієнти, а R(f) – залишковий член.

Щоб дістати рівняння, з яких можна визначити коофіцієнти А і В, подамо функції f(x), f(x0-h) i f(x0+h) в околі точки х0 за допомогою формули Тейлора. Маємо:

, ,

,

.

Підставляючи ці значення функції f(x),f(x0-h).f(x0+h) у формулу 1 і беручи до уваги, що , (тут за загальною теоремою про середнє , для залишкового члена R(f) дістанемо:

.

Невідомі коофіцієнти А і В доберемо так, щоб

Звідси знаходимо .

За цих значень А і В залишковий член квадратурної формули 1.

.

Але f(iv) неперервна на [х0-h,x0+h], тому існує точка [x0-h,x0+h] така, що

Отже, , 2

Таким чином, триточкову квадратурну формулу 1 можна записати так:

3

Це і є квадратурна формула Сімпсона; або формула парабол із залишковим членом. Вона точна для многочлена третього степеня, бо похідна четвертого порядку від такого многочлена дорівнює 0.3 формули 2 легко знайти таку оцінку для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою Сімпсона: .

Якщо треба обчислити з достатньою точністю, то відрізок [a,b] ділять на 2n рівних відрізків завдовжки і до кожного з відрізків [x2k;x2k+2],(k=0,1,…,n-1) застосовують формулу Сімпсона 3.