Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

/ Звідси випливає, що задана система ;;ікіі1них різн-таь перетворюється (після ц вилучення рівняння вигляду 0 == 0) на ступі:-:часту систему

- ^І-г ^3 + 2А'я =—1,1

2х,- х^-6,}

-\: _ 2^- 0. ] Ця система, а отже, і задана система мають єдиний розв'язок (2, —3, 0).

І, , •

2. Розв'язати снетегу " "' '

: г 2хі+3^+5^-^Х^ 5, • • : Зл:і+4^+2хз+&»;4==—2, Хї+2.^+8хз- ^= 8, 7^+°-ї2+ ^+8Х4= 0. Розв'язання. Зведемо розширену матрицю до ступінчастого вигляду

(235 2 5\ /128 —1 8\ 342 3—2І(342 3 — 2 1 1 2 8 —1 8 І ""І 2 3 5 2 5 } ^791 8 О/ \7 9 1 80/

(1 2 8—1 8\ /1 2 81 8\ 0—2—22 6 —2б| |0 —2 —22 6 — 26 \ "^ 0 —1—11 4—11 і|о О 01 2}' 0 —5 —55 15 —56/ \0 О 00 9/

Отже, задана система лінійних рівнянь перетворюється на ступінчасту систему, в якій міститься рівняння 0=9, тому вона несумісна.

3. Розв'язати систему

*і+2^+3<з+ 4^+ 5х,=0, \ 2л:і+3^+4^+ 5г,+ ^,=0, | 3^+4л;24-5хз+ ^4+^=0,

•»:1+3л:г4-5.»;з+12^4+ 9^=0, ЗХі+бх^-{-9х,+17х^+10х^=0.

Розв'язання. Розширену матрицю цієї системи зведемо до ступінчастого вигляду

~1 2 3 4 5 0~ '"1 2 3 4 5 0~ 234510 0—1—2—3—90 345 1 20 ->• 0—2—^—11—130-»-1 3 5 12 9 0 0128 40

_3 69 17 10 0 00 о 5 —50 ''

~1 23 45 0~ "'1 2 3 ' 4 "5 0'"' ' -

0—1—2—3—90 012 390 ^ 0 0 0 —5 5 0 ->- 000—1 1 0 , -1-

0 0 0 5—50 000 000 _0 О 05—50 000 000

Отже, задана система лінійних однорідних рівнянь перетворюється на ступін¬часту

^+2^-3^+4^+5^=0, ) ," ^.+2^з+3^+9^=0, - ^

— *-4+ •<'5=0. )

Вважати-мемо невідомі х^, х,., х^ основними, а невідомі Ху, х^ — вільними. Нехай Хз '= 'х, х, = р. ?- .останньої системи знаходимо х^ == V. -+• 15р, х, == —2а— 12р, 4= Р.^ , ., ^ , : ,•,,

Викладений вище метод розв'язування систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса, або методом послідовного виключення невідомих. Цей метод досить зручний для розв'язування вручну систем лінійних рівнянь з невеликою кількістю невідомих. Він з ус¬піхом може бути використаний також для розв'язування лінійних систем на ЕОМ, проте часто для цього ефективнішими виявляються інші методи, наприклад, ітераційні (послідовних наближень). Так, зокрема, буває тоді, коли коефіцієнти і вільні члени системи є дійсні числа, знайдені вимірюванням деяких фізичних величин, і, отже, відомі наближено, з певним ступенем точності, тоді й розв'язки систе¬ми, природно, знаходимо також з певним ступенем точності.