Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

аг^іг, — • • • + аих^ = Ьі — ^2, ,е\

а-г^х^ ==Ьг— І-,г, \еквівалентну системі (4). У системі (5) коефіцієнти а\\, аг»,, азіг,, ... ...аг відмінні від нуля. Надамо вільним невідомим у системі (5) довіль¬но вибраних числових значень: дістанемо систему вигляду (3). Роз¬в'язавши її описаним вище способом, дістанемо єдині значення голов¬них невідомих Хц х^, Хі:,, ..., х^. Сукупність знайдених значень го¬ловних невідомих і вибраних нами значень Д вільних невідомих, очевидно, задовольняє кожне рівняння системи (5), тобтоє цілком визначеним розв'язком цієї системи, а отже, і еквівалентної їй систе¬ми 5 (Л'), що відповідає вибраним значенням вільних невідомих. ^Оскільки значення вільних невідомих можна вибирати довільно, то множина різних наборів цих значень нескінченна. Тому множина розв'язків системи (5) і еквівалентної їй системи 5 (А') нескінченна. Таким чином, система 5 (Л') сумісна, але невизначена.

Зауважимо, що при всіх можливих виборах значень вільних невідо¬мих за допомогою системи (5) щойно описаним способом буде знайдено всі розв'язки системи 5 (Л'). Іншими словами, кожен розв'язок системи 5 (Л') можна дістати описаним способом при відповідному виборі значень вільних кевідо?»ійх. -

Нехай (г'і, ід, ..., і'„) — довільно вибраний розв'язок системи 5 (Л'). Тоді він є розв'язком також і системи (5), еквівалентної системі 5 (Л').

Отже, ^, 4ц ^*.» ••• •к єтими єдиними'значеннями головних невідомих, які дістаємо за допомогою системи (5), якщо вільним невідомим на¬дати значень, що є компонентами розв'язку (/і, /д, ..., 1^).

З викладеного вище випливає справедливість таких тверджень.

Теорема 1. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки то¬ді, коли вона перетворюється'на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0 == ^' (Ь Ф 0).

Теорема 2. Сумісна система лінійних рівнянь є визначеною тоді і тільки тоді, коли в ступінчастій системі, в яку вона перетворюєть¬ся, число рівнянь г дорівнює числу невідомих п.

З цих теорем випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Система п лінійних рівнянь з п невідомими е визна¬ченою тоді і тільки тоді, коли вона перетворюється на ступінчасту систему, в якій а\\ =^0, 0:22 ^ 0, ..., Опп ^ 0.

•< Нехай дану систему п лінійних рівнянь з п невідомими перетво¬рено на ступінчасту систему, в якій ац Ф 0, а^з Ф 0, ..., а'пп Ф 0. У такій ступінчастій системі, очевидно, немає рівнянь вигляду 0 == = Ь' (Ь' -ф. 0) і число рівнянь дорівнює числу невідомих. Тому, за теоремою 1, дана система лінійних рівнянь сумісна, а за теоремою 2, вона визначена. Навпаки, якщо дана система п лінійних рівнянь з п невідомими визначена, то за теоремою 1, у ступінчастій системі, на яку вона перетворюється, немає рівнянь вигляду 0 = Ь', (Ь' ^= 0) і, за теоремою 2, число рівнянь у ступінчастій системіїдорівнює п. Отже, в ступінчастій системі а\\ ^ О, агч ^ 0, ..., а'пп Ф 0. >•

Наслідок 2. Сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими Їіри т <п є невизначеною.

•^ Справді, сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими при т •< п перетворюється на .ступінчасту систему, в якій число рівняньг менше, ніж число невідомих п, і тому, за теоремою 2, вона є невизна¬ченою. ^

Лінійне рівняння -, . і—.йй а^+а,х,+ ... +а^==6 ^: °0'

називається однорідним, якщо його вільний член Ь дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною лінійною системою або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її рівняння однорідні, тобто якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю.

Застосуємо одержані вище результати до однорідної лінійної системи. Нехай дано довільну систему лінійних однорідних рівнянь