Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

йц^і + аі2^2 + • • • + ащХп =0, 021-^1 + 022^2 4- •-• • + а2пХп = 0, ^

Ог.Л^ -т- ОтіХг — • • • + СІтпХп =-- 0. ,

Ця система сумісна, оскільки вона має нульовий розв'язок (О, О, ,.., 0).-Це узгоджується й з доведеною вище теоремою 1. Справді, оскільки всі вільні члени системи (6) дорівнюють нулю, то вона пе¬ретворюється на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0=о (&^0). ' - '

Якщо система (6) перетворюється на ступінчасту ,-истему,. в якій число рівнянь /• дорівнює числу невідомих п, то за теоремою2, вона має єдиний розв'язок — нульовий. Якщо ж система (6) перетворю¬ється на ступінчасту систему, в якій число рівнянь ,'• у.енше, ніж число невідомих п, то множина її розв'язків нескінченна, і, отже, вона має ненульові розв'язки, тобто розв'язки, в яких деякі (а можливо й усі) компоненти відмінні від нуля.

Множина ненульових розв'язків буде нескінченною.

Теорема 3. Система лінійних однорідних рівнянь, в якій число , рівнянь менше, ніж число невідомих, має ненульові розв'язки. •

За наслідком 2, така система невизначена, тобто має нескінченну множину розв'язків, серед яких є і розв'язки, відмінні від нульового.

Приклади. 1. Розв'язати систему

х,+ х^+2х^-=- 1,

2жі+4А-2+5.їд=—8, ——

«Ї+ЗX2-^5А:3=—7. ЗА-і4-7-«-2+9^3=—15-Р о з в'я за н н я. Зведемо розширену матрицю цієї системи /І 1 2-1 \ | 2 4 5 —8 | | 1 3 5 —7 | \3 7 9 —15/

до ступінчастого вигляду. Перший рядок, помножений відповідно на 2, 1, 3, відні¬мемо від другого, третього і четвертого рядків, дістанемо

/І 1 2 1\ 1021—61 І 0 2 3—6 1

\0 4 3 —12/

Другий рядок, помножений відповідно на 1, 2, віднімемо від третього і чет¬вертого рядків, матимемо

/1 1 2-^

-•--—•—•------— [02 1 —6| -...-_^і1_ : ,

' ; ' ґ " - :•' /<:; '"^ "1002 0 |" • \- • .•^-.-і-.- . -.-

\0 0 1 О/

Третій рядок, помножений на 1/,, віднімемо від четвертого рядка, дістанемо

/1;1 2-1\ ; , 1 0 2 1 —6 1

і 0 0 2 01 .

д—»-— \о о о- • о/ • . .