Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням

Виберемо і такі, що мають місце нерівності:

Звідси при має місце:

Нехай . Таким чином, нерівності мають місце для довільного . Таким же чином, як це було зроблено для , можна довести -стійкість (2.2). Теорему доведено.

3. Система імунного захисту

Наша подальша мета - отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи:

(3.1)

Тут . З цією метою введемо такі позначення. Нехай - довільні додатні константи.

Нехай:Теорема 3.1. Нехай існують додатні константи , що задовольняють нерівності:

Тоді тривіальний розв'язок (22 ) є асимптотично стійким.

Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду:

що є додатньо-означеним на розв'язках системи (22). Обчислимо повну похідну функціоналу , використовуючи систему (22). Маємо:

Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо:

Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що відповідає вектору:

Маємо:

.

Тут:

.

Взявши до уваги вигляд матриці , стає зрозумілим, що від'ємна визначеність є еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні теореми.

Література

Нисевич Н.И., Марчук Г.И. Математическое моделирование вирусного гепатита. - М.: Наука, 1981.

Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. - Berlin, 1977.

Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. - 1960. - Р. 181-198.

Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear Systems with Delay. - Advances in Difference Equations. - Gordon and Breach Science Publishers. - 1997. - Р.439-445.

Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Оптимизационный метод исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный аналіз. - 1996. - №4. - С. 88-93.