Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням

Тут і - від'ємні константи, функції задовольняють наступні умови:

(2.3)

де - додатні константи.

Теорема 2.2. Нехай умови (2.3) виконані.

Тоді незбурений розв'язок (2.2) є стійким та експоненціально -стійким.

Доведення. Нехай - функція Ляпунова для скалярного рівняння:

(2.4)

Тоді:

Розглянемо функціонал, що відображає в вигляду:

Повна похідна функціоналу вздовж першого рівняння з (2.2) має вигляд:

Згідно з умовами (3), існує таке, що:

(2.5)

у сфері:

. (2.6)

Функціонал задовольняє умови:

(2.7)

при досить великому N.

Нехай - довільний розв'язок системи (2.2) з початковими умовами зі сфери:

Розглянемо інтервал , на якому піддослідний розв'язок зодовольняє умови:

Оскільки мають місце (2.5), (2.6), (2.7), то, як випливає з теореми 2 (див. [10], стор.145), розв'язок першого рівняння з (2.2) - експоненціально x-стійкий, тобто:

(2.8)

Уявимо функцію , яка задовольняє друге рівняння з (2.2) у наступному вигляді:

(2.9)

Оскільки то маємо:

Застосовуючи до останньої нерівності лему Гронуола-Беллмана, отримуємо: