Модальні групи структурні властивості

Модальні групи

(структурні властивості)

Різноманітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв’язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток . Клас всіх таких груп позначимо . Зрозуміло, що клас замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх групоїдів відносно включення утворює повну решітку.

Відображення є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм не є ізоморфізмом.

Фундаментальні результати для класа модулярних груп (М), класа дистрибутивних груп (D) та ін. викладено в монографії [5].

Многовид модальних решіток Un введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G (Un) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення:

T (Ai + Aj) ,

де і, j = 1,…, n; причому і j. Якщо l < m, то очевидно (Ul) (Um). Зрозуміло також, що (U2) = (D).

Опис класів (U3) і (U4) дано в роботах [1–2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда (U5).

1. Опис групоїда (U3).

Група G є модальною тоді і тільки тоді, коли вона має таку будову:

G – локально циклічна група;

G {Q, B}, де Q – група кватерніонів, а В – нециклічна група 4-ого порядку;

G = A B*, де А {Q, B} і В* – локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок.

Із цього результату, зокрема, випливає включення (U3) (M), тоді як многовиди решіток U3 і М неможливо порівняти. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y2] = 1.

2. Опис групоїда U4).

Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для довільного параметра n.

Група G – модальна тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента t і t , порядки k1,…, kn елемента t, відносно підгруп Аі,…, An, взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля.

Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільки тоді, коли вона належить до одного з наступних типів:

G – локально циклічна група;

G {В, С}, де В – нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С – нециклічна група 9-го порядку;