Точкові і просторові групи кристалічних решіток
1. Кристалографічні точкові групи і просторові групи.
Опишемо результати аналогічного аналізу проведеного для будь яких кристалічних структур, так як для решітки Браве. Візьмемо структури, які отримаються, коли будь який об’єкт піддати трансляціям які утворюють решітку Браве, і попробуємо класифікувати групи симетрії таких структур. Вони залежать як від симетрії об’єкта, так і від симетрії решітки Браве.
Існує 230 різних груп симетрії решіток з базисом - 230 просторових груп (коли накладено умову повної симетрії базису існує тільки 14 просторових груп).
Для Решітки Браве існує 7 точкових груп (7 кристалографічних систем) і 14 просторових груп (Решіток Браве).
Для кристалічних структур (базис довільної симетрії) є 32 кристалографічних точкових груп і 230 просторових груп.
Точкові групи описують операції симетрії, які переводять кристалічну структуру в саму себе і залишають і залишають при цьому нерухомою одну з її точок, тобто не трансляційні елементи симетрії. Кристалічна структура може мати 32 різних точкових груп які можна побудувати з 7 точкових груп решітки Браве, розглядаючи систематично всі можливі способи пониження симетрії об’єктів на фігурах які описуються цими групами.
Побудова дає 25 нових груп. Кожна з них зв’язана з одною з 7 кристалічних систем за наступним правилом: будь яка група, побудована шляхом пониження симетрії об’єкта, який описується деякою кристалічною системою, продовжує належати цій системі доти, доки симетрія не понизиться настільки, щоб усі операції симетрії об’єкта які залишились, можуть бути знайдені також і в менш симетричній кристалічній системі; коли це відбувається, групу симетрії об’єкта відносять до менш симетричної системи. Тому кристалографічна точкова група належить до кристалічної системи, яка має найменшу симетрію з 7 точкових груп решітки Браве, які мають усі операції симетрично даної кристалографічної групи.
Об’єкти з симетрією 5 кристалографічних точкових груп, які відносяться до кубічної системи , мають вигляд(мал. 1):
Кристалографічні точкові групи можуть мати операції симетрії наступного виду:
1. Повороти на кут, кратний 2π ∕ n, кругом деякої осі. Таку вісь називають віссю n-го порядку. Легко показати, що решітки Браве можуть мати тільки осі 2,3,4,6-го порядку. Оскільки кристалографічні точкові групи містяться в точкових групах решіток Браве, вони також можуть мати лише вісь цього порядку.
2. Повороти з віддзеркаленням. Навіть якщо поворот на кут 2π ∕ n не являється елементом симетрії, деколи такий поворот з наступним віддзеркаленням в площині , яка перпендикулярна його осі, може належати групі симетрії. Тоді таку вісь називають дзеркально – поворотна вісь n-го порядку. Наприклад групи S6, S4 мають дзеркально поворотні осі 6-го і 4-го порядку(мал.2).
3.Повороти з інверсією. Деколи поворот на кут 2π ∕ n наступною інверсією відносно точки, яка лежить на осі повороту, виявляється елементом симетрії, хоча сам такий поворот ним не являється.
Тоді таку вісь називають інверсійною віссю n-го порядку. Вісь в групі S4(мал.2) є і інверсійною віссю 4-го порядку. Вісь в групі S6 являється тільки інверсійною віссю 3-го порядку.
4.Відбивання. Віддзеркалення переводить кожну точку в її дзеркальне відображення відносно деякої площини, яка називається дзеркальна.
5.Інверсії. При інверсії є тільки одна нерухома точка. Якщо цю точку взяти за початок відліку, то люба інша точка r переходить в- r.
2.Позначення точкових груп.
Широко використовується дві системи позначення – міжнародна і запропонована Шенфлісом.