Парадокси теорії відносності

Вступ

Серед професорів Цюріхського Федерального вищого політехнічного училища, лекцій якого так сильно уникав Ейнштейн, був математик Герман Мінковський, який одного часу навіть вважав Ейнштейна ледарем. Пізніше він став професором відомого Гетингенського університету в Німеччині, де в результаті пошуку, розпочатого в 1907 році, йому вдалось показати, що математичний аппарат теорії відносності добре вписується в структуру чотирьохвимірного простору-часу. Чотирьохвимірний підхід до усіляких релятивістських відношень був уже до того часу добре розвинутий в праці Пуанкаре 1905 року, направленій ним на друк майже одночасно з Ейнштейном. Однак Мінковський пішов в цьому напрямі набагато далі, чим Пуанкаре, дякуючи чому право першовідкривача як правило приписується йому.

Ми вже знаємо в основних рисах, що таке координати. Для випадку двох вимірів точне положення точок можна, наприклад, задати на листку міліметрового паперу за допомогою координат х і у, які відраховуються вздовж двох координатних осей з початком в точці О, якими можуть служити, скажімо, дві взаємноперпендикулярні прямі Ох і Оу. На рисунку зображено самі суттєві деталі і відсутня міліметрова сітка, яка здатна сильно захаращити креслення. З точки Р тут опущено перпендикуляр на вісь х. Якщо Р має координати (х,у), то довжина відрізка OQ рівна х, а QP – y. Нехай r – це відстань від точки Р до початку координат. Тоді використання теореми Піфагора до прямокутного трикутника OQP дає

QP2=OQ2+QP2, або r2=x2+y2.

Тепер введемо ще одну пару ортогональних осей координат з тим же початком, але повернутих на деякий кут по відношенню до початкової системи координат. При цьому виникає питання “Що станеться з формулою для r2, якщо її перевести з старих нештрихованих, до нових штрихованих координат?”

Існує дуже короткий шлях, який веде до відповіді і не потребує пошуку закону перетворення від старих координат (нештрихованих) до нових (штрихованих). На рисунку зображено основні деталі обох систем координат і показано розміщення точок О і Р відносно повернутих осей координат Ох’ і Оу’. Пряма PQ’ перпендикулярна осі х’. Відстань ОР (або r), та сама, що і раніше, тоді як координати х’ і у’ точки Р визначаються довжинами відрізків ОQ i QP. Але все таки з теореми Піфагора для прямокутного трикутника OQ’P слідує, що

QP2=OQ’2+Q’P2,

або r2=(x’)2+(y’)2.

Якщо не враховувати штрихів, то формула для r в штрихованих координатах точно така ж, як і в нештрихованих.

В трьохвимірному просторі можна ввести ще одну вісь z, перпендикулярну двом нашим. Повторним приміненням теореми Піфагора можна довести, що поряд з співвідношенням

r2=x2+y2+z2,

яке має місце в нештрихованій системі координат, виконується і співвідношення

r2=(x’)2+(y’)2+(z’)2,

справедливе в штрихованій системі координат, створеній трійкою взаємно перпендикулярних осей, які мають той же початок, але повернутих відносно початкових.

Якщо згадати перетворення Лоренца, то неважко помітити, що вони являють собою деяке сплетіння координат x i t. Це дає підставу міркувати, що і час якось геометрично переплітається з простором. Як показує елементарний алгебраїчний розрахунок, при перетвореннях Лоренца величина s, яка визначається співвідношенням

s2=x2+y2+z2-c2t2,