Стаціонарне магнітне поле у вакуумі

(2.7)

– перше рівняння магнітостатики, та

(2.8)

– друге рівняння магнітостатики.

Розв’язком системи (2.7-8) у випадку поля, створеного у довільній точці простору системою стаціонарних струмів, розподілених у деякій області простору Ω є вектор

, (2.9)

величина і напрям якого визначається густиною струму у кожній з точок цієї області.

Вираз (2.9) можна також подати у вигляді

, (2.10)

де

(2.11)

– векторний потенціал поля. Це означає, що поряд з індукцією, векторний потенціал також можна вважати характеристикою магнітного поля. Щоправда, перша з властивостей (1.8) диференціальних операторів свідчить про неоднозначність вибору векторного потенціалу – його можна визначити з точністю до довільного вектора gradφ. Як правило, векторний потенціал постійних магнітних полів вибирається таким, щоби виконувалася умова

. (2.12)

Тоді його можна визначити як розв’язок диференціального рівняння другого порядку

(2.13)

з відповідними крайовими умовами. Рівняння (2.12) вважається еквівалентним системі (2.7-8) (диференціальних рівнянь першого порядку), оскільки разом з (2.10) воно дозволяє повністю визначити силову характеристику магнітного поля – індукцію за відомим розподілом струмів.

Вказані два шляхи встановлення індукції поля легко реалізуються, якщо відомий вигляд векторної функції у кожній точці області існування струмів, а сама область являє собою тіло правильної геометричної форми, наприклад, циліндр, кулю і т.п. У багатьох випадків реально існуючих систем струмів хоча б одна з цих умов не виконується.

У цих випадках, аналогічно до того, як це робиться в електростатиці, магнітне поле шукають наближено, здійснюючи розвинення векторного потенціалу за мультиполями. Першим ненульовим членом такого розвинення є векторний потенціал си-

стеми струмів у магнітнодипольному наближенні

, (2.14)

де