Параметричний резонанс

’ (t + T)

Підберемо числа і так, щоб виконувалися різності

Це система однорідних рівнянь відносно величин і , розв'я¬зок якої існує, якщо

Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених зна¬чення величини : 1 і 2, кожному з яких відповідає оди:І розв'я¬зок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = 1 , знаходимо Тоді із співвідношення

1’ (t + T)

Аналогічно для = 2, маємо

2’ (t + T)

Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні t на t + Т зво¬дилась до множення на сталий множник:

1’ (t + T) , 2’ (t + T)

Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом

1’ (t + T) , 2’ (t + T)

Формули можна записати тотожно так:

;

Звідси випливає, що функції

П1(t) = ; П2(t) =

є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд

1 (t + T) , 2’ (t + T) ,

Сталі 1 і 2, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції 1 і 2,

;

відповідно на 1 і 2 і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо

звідки випливає, що вираз l (t) = = const не залежить від часу. Тому l (t + Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = 1 (t +T) 2 (t + T) = 1 2l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то

1 2=1

Оскільки коефіцієнти визначника аіj дійсні, то величини 1 і 2, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвід¬ношення, покладемо 1 = еzT , 2 = е-zT де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.