Параметричний резонанс

Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z0 коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z0= = a cos t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює

lz = — m 0 = m 2a cos t.

Потенціал цієї сили виражається формулою

U = —lzz = —mla 2 cos cos ,

де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за уза¬гальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд

L = + mgl cos + mla 2cos t cos ,

а рівняння Лагранжа

Для малих коливань ( 1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння

де = g/l.

Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:

Параметром, що залежить від часу, тут є частота

Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметрич¬ного резонансу або параметричної нестійкості.

Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу

(t + Т) = (t)

з періодом Т — 2 / . У зв'язку з цим можна сказати, що рівнян¬ня (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t — Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лі¬нійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'я¬зок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'яз¬ків. Зокрема,

1 (t + T)= а11 1 (t) + а12 2 (t),

2 (t + T) = а21 1 (t) + a22 2 (t).

Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій 1 (t + T) і 2 (t + T) дійсний, то 1 (t + T) і 2 (t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а11 в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції 1 (t + T) і 2 (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник

то а11= , а

1 (t + T) = 1 (t) + а12 2(t + T) = [a21 1 (t) +a22 2 (t)] = 2 (t + T)

що означає лінійну залежність функцій 1 (t + T) і 2 (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно неза¬лежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні t на t + Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто (t + T) = . Справді, нехай 1 (t) і 2 (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх: