Властивості визначеного інтеграла

Властивості визначеного інтеграла

1. Властивості визначеного інтеграла

10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

тощо.

Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

Визначений інтеграл введений для випадку, коли ab.

20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

(33)

Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона - Лейбніца.

40. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність

(34)

(адитивність визначеного інтеграла).

Припустимо спочатку, що a
.

Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (34).

Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого.

Якщо, наприклад, a
На рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли і a
Зауваження. Нехай f(x) - знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a
Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо

де S1, S2, S3 - площі відповідних криволінійних трапецій.

Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при ab то все формулюється навпаки .

Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом