Диференціальні рівняння І порядку

У0 =φ (х0, С) (8)

Шуканий частинний розв'язок матиме вигляд У0 =φ (х, С0) . Особливим розв'язком рівняння (2) називається такий його розв'язок, який не може бути одержаним ні при якому значенні С. Отже, виходить, що інтегральна крива, яка відповідає особливому розв'язку, проходить поза областю єдності задачі Коші.

5. Розглянемо деякі задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.Приклад 1. Дослідним шляхом встановлено, що швидкість розмноження бактерій в будь-який момент часу додатня і пропорційна їх масі. Знайти залежність маси бактерій від часу.

Позначимо m (t) масу бактерій в момент часу t; тоді - швидкість розмноження цих бактерій. Згідно умові задачі швидкість розмноження пропорційна масі m (t) бактерій, тому - km (t) (9), де k>0. Рівняння (90 містить шукану функцію m (t) і її похідну, тому є диференціальним рівнянням. Переконаємось, що будь-яка функція виду (10) де С - довільна змінна, є розв'язком рівняння 9.

Дійсно, замінивши в рівнянні (9) m його значенням з рівності (10) маємо

Одержали тотожність, отже, дійсно функція (10) є розв'язком рівняння (9). Так як функція m (t) - cekt означає масу бактерій в залежності від часу t, то задача розв'язана в загальному вигляді (10) є загальним розв'язком рівняння (9). При цьому коефіцієнт k залежить від виду бактерій і від зовнішніх умов.

Якщо ми знаємо значення k і масу то бактерій і деякий момент часу t0, то за формулою (10) одержимо масу бактерій в будь-який момент часу t. Дійсно, нехай (11)

Тоді, m0- cekt, c- m0- ce-kt отже (12)

Функція (11) є розв'язком рівняння (9) і, крім того, задовольняє умові (11).

Умова (11) називається початковою умовою.

Таким чином, рівняння 9 має безліч розв'язків, а завдання початкової умови виділяє єдиний розв'язок з цієї множини.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

Яке рівняння називається диференціальним?

Яке диференціальне рівняння називається рівнянням першого порядку?

Яке диференціальне рівняння називається рівнянням другого порядку?

Що називається порядком диференціального рівняння?

Записати загальний вид диференціального рівняння першого порядку.

Який вигляд має диференціальне рівняння першого порядку, розв'язання відносно похідної?

Що називається розв'язком диференціального рівняння у' =F (х; у)?

Що називається інтегральною кривою диференціальне рівняння у' =F (х; у)?

Як формується задача Коші для диференціального рівняння у' =F (х; у)?