Диференціальні рівняння І порядку

3. Задача знаходження розв'язку рівняння (3), що задовольняє умові де х0, у0 - задані числа, називається задачею Коші. Умова (4) називаються початковою умовою.

Геометрично задача Коші полягає в тому щоб знайти інтегральну криву рівняння (3), яка проходить через задану точку М0 (х0; у0).

У теоріях і застосуваннях важливе значення має така проблема: скільки інтегральних кривих рівняння (3) проходить через задачу точку А0 (х0; у0) області D.

4. Теорема. Нехай маємо рівняння і області D1 в якій функції f (х0; у0) і визначені і неперервні. Нехай А0 (х0; у0) - довільна точка з області D1. Тоді існує єдиний розв'язок.

у = φ (х)

рівняння (3), який визначений в деякому околі точки х0 і задовольняє початкову умову φ (х0) = у0.

Приклад 2. Розглянемо рівняння

(5)

Його права частина f (х0; у0) неперервна при у0, тобто у верхній півплощині, включаючи вісь, Ох (область D'1). Функція неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь Ох (область D1). Рівняння (5) має сім'ю розв'язків:

, , , (6)

де С - довільна стала. Формула (6) називається загальним розв'язком рівняння (5). Тоді у = (х+с)2, при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція у = (х+с)2 є розв'язком початкового рівняння, тут х+с>0, тому ч>-с.

Припустимо, що через кожну точку області D1 проходить єдина інтегральна крива рівняння (2). Загальним розв'язком рівняння (2) в області D1 називається функція у = φ (х, с),

Яка: 1) є розв'язком рівняння (2) при всіх значеннях довільної сталої;

2) дає розв'язок Коші є довільними початковими даними (х0, у0) з області D1 при відповідному значення С=С0.

Геометрично розв'язок (6) являє собою сім'ю пів парабол в області D1. Коєжнак інтегральна крива одержується з пів параболи у=х2, х>0 зсувом вліво та вправо на осі Ох.

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що рівняння (5) має розв'язок у=0, який не можна одержати ні при якому значенні довільної сталої С.

Розв'язок у=0 називається особливим розв'язком рівняння (5)

у

0 х

Частинним розв'язком рівняння (2) називається розв'язок цього рівняння при фіксованому значенні величини С.

Для знаходження частинного розв'язку, який відповідає початковій умові, потрібно підставити х0 і у0 у рівняння (7) і визначити С = С0 з рівняння