Доведення теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:

1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Нехай .

Тоді .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

І тому

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=l1.

Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню l1 з рівності

Тоді

, або

Враховуючи, що

перепишемо систему у вигляді:

Але і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x1 з першого рівняння системи

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x1>0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

але це випливає з того, що , бо cb>0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.