Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами

Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що , можна поступово знайти , де - ціле число,

більше за одиницю . Наприклад, при

Звідси .

Приклад 2. .

Нехай Тоді

і

У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був .

Знайдемо тепер . Маємо .

Звідси

Отже , на основі формули (8.16) одержимо

Враховуючи значення , знаходимо

.

Приклад 3.

Із останньої рівності одержимо

.

Обчислимо тепер

Звідси .

Остаточно з урахуванням , матимемо

Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції , застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою , про що мова буде іти пізніше.

2. Інтегрування часток

Через те , що то

. (8.18)

Користуючись цим , стають очевидними такі формули :

.