Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили (4.53)

Тоді р-ня (4.54)

інтегруємо і отримаємо загальний розвязок (4.55)

Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл (4.54)

то отримаємо ДР типу (4.43)

Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :

а) ДР вигляду

якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :

(4.52)

то поклавши перейдемо до р-ня

Якщо - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38)

Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію (4.53)

то з співвідношення знаходимо

Звідки (4.54)

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

б) ДР вигляду (4.55)

Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно

(4.56)

Позначимо і перейдемо до ДР (4.57)

Домножимо (4.57) на :

Звідки . Отже

з якого визначимо

.

Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.

Знайшовши з нього