Інтегрування раціональних функцій

Інтегрування раціональних функцій

План

Інтегрування раціональних функцій

Прості раціональні дроби

Неправильні раціональні дроби

Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського

1. Інтегрування раціональних дробів

Прості раціональні дроби

Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :

,

де -дійсні числа ; - ціле число , тобто не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел .

Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :

в) ;

г)

Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на деяку константу .

Маємо

.

Отже,

Якщо позначити

, то одержимо

то одержимо

Тому

Щоб одержати кінцевий результат, досить повернутися до змінної і замінити та їх значеннями.

г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й третій, зведеться до вигляду

Тому