Критерій інтегрованості функцій

Критерій інтегрованості функцій

Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.

.

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння

,

яке є першим інтегралом системи.

Геометрично перший інтеграл являє собою -вимірну поверхню в -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих

Якщо знайдено -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо перших інтегралів

І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників . Звідси з системи можна виразити - невідомих функцій через інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок до - рівнянь. Якщо і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.

Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.

Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі

можна переписати у вигляді

..

При такій формі запису всі змінні рівнозначні.

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

,

називається системою у симетричному вигляді.

При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість “пропорційності”. А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність

.

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду

.

Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв'язок у вигляді

.