Методи інтегрування

Методи інтегрування

Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпа¬дає із змінною інтегрування.

Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому ви¬падку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування - х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу

∫sin udu=- cos +С

Заданий невизначений інтеграл ∫f(x)dx можна знайти, якщо якимось чином вдається звести його до одного із табличних ін¬тегралів.

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегруван¬ня, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.

Ознайомимось з основними методами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод базується на рівності сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб¬личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад. Знайти інтеграли

а) b) с)

Розв'язування.

а)

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;

b)

У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½

с)

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргу¬менти степеневої функції u2/5 = (3x - 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (¬- 7).

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).