Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою величиною.

Ділення нескінченно малих тa нескінченно великих величин поки що не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної величини.

Границя змінної та її властивості

Із всієї множини змінних величин виділимо такі, процес зміни яких відбувається особливим чином, що дозволяє назвати їді величини прямуючими до границі.

Поняття границі

Означений 3. Постійна величина а називається границею змінної величини х, якщо абсолютна величина різниці х - а є ве¬личиною нескінченно малою, тобто |х - а| < ε.

Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до границі а і позначають так: lim х = а або х→ а.

З цього означення границі випливає, що границя нескінчен¬но малої величини дорівнює нулю, тобто lim α = 0 або а→0.

Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вважають, що границя нескінченно великої величини є ∞, тоб¬то |х| → ∞ або lim x = ±∞.

Із означення 3 випливає: якщо в процесі своєї зміни змінна величина має границю, то лише одну, а сама змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тобто х = а + α. Саме цей факт в математичному аналізі часто використовується.

Тепер розглянемо границю різновидів змінної величини - послідовності та функції,

Означення 4. Число а називається границею послідовності х1, x2,..., хn якщо для будь-якого наперед заданого, скільки завгодно малого ε > 0 існує такий номер N, що для усіх n >N виконується нерівність .

Позначають границю послідовності так:

lіm хn = a або xn → а при n → ∞Відмітимо, що номер N залежить від ε і найчастіше він зро¬стає, коли ε зменшується.

Означення 5. Число А називається границею функції у =f(x) при x→ x0 , якщо для будь-якого наперед заданого, скільки зав¬годно малого ε > 0 знайдеться таке число >0, що для усіх x, відмінних від х0 i які задовольняють нерівність, виконується нерівність | f(x) - A|<ε.

Відмітимо, що залежить від ε і найчастіше зменшується, коли зменшується ε.

Покажемо на графіку (Мал. 1), як здійснюється прямування функції f(х) до границі А. Відклавши на осі 0у ε-окіл точки А, знайдемо проміжок (х0-,

х0-) осі 0х, для усіх точок якого значення функції f(х) не виходить із смуги завширшки 2ε. Із та візьмемо менше і позначи¬мо його. Тепер для усіх х, таких, що |х - x0| < викону¬ється нерівність |f(х) - A| < ε.

мал.1.

Зауваження 5. Якщо функція у = f(х) має границею числа А1, лише при умові, що x→x0 зліва, то використовують такий запис: