Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно ма¬лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи¬наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть¬ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера¬ми α,β,γ.

Наприклад, величина при є нескінченно малою.

Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є нескінченно малою, тобто якщо α=0, то нерівність |а|< ви¬конується для будь-якого > О,

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа не¬скінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай задано k нескінченно малих величин α1, α2,...,αk. Доведемо, що їх алгебраїчна сума (α1 ± α2 ± ... ± αk) буде величиною нескінченно мстою. Візьмемо скільки завгодно мале > 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть ви¬конуватися нерівності:

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

|α1±α2+...±αk||α1| + |α2| + ... + |αk|<+ + ... + = ε

Отже, маємо: |α1±α2+...±αk| ε

Ця нерівність, згідно з означенням 1, означає, що (αl±α2±...±αk) є нескінченно малою величиною. Теорема до¬ведена.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай у - обмежена величина, α - нескінченно мала. Для обмеженої величини у існує таке число М, що |у| М. Згідно з означенням нескінченно малої в процесі змінювання a наступить такий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність < - для будь-якого ε > 0. Тому, починаючи з деякого моменту, буде виконуватись нерівність

Ця нерівність означає, що у-а є величиною нескінченно ма¬лою, що і треба було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є ве¬личина нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих вели¬чин є величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини - обмежені величини, тому для них має місце твердження теореми 2.

Означений 2. Змінна величина х називається нескінченно ве¬ликою, якщо а процесі її зміни наступиш такий момент, почи¬наюча з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додат¬ного числа N, тобто >N.

Наприклад, величина 10n при є величина нескінченно великі.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то - нескінченно мала, і навпаки, якщо у - нескінченно мала і у0, то буде нескінченно великою величиною.