Початки комбінаторики

при a= -1, b=1 маємо (-1+1)n = 0n = (-1)k.

За останньою рівністю, зокрема, природно означити 00 як 1, слідуючи за Доналдом Кнутом [****].

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

= +

Ця тотожність називається правилом додавання. Існує багато різних її доведень. Ось "лобове":

Доозначимо біноміальні коефіцієнти при k<0 та k>n як =0. Тоді правило додавання справджується за будь-яких значень k. Скористаємося цим доозначенням також і далі, розглядаючи суми, в яких додавання ведеться за нижнім коефіцієнтом k у виразах вигляду . Це дозволить не записувати межі, у яких змінюється k.

Доведемо ще одну тотожність, яка називається згорткою Вандермонда:

.

Якщо замінити k на k-m, а n - на n-m, то одержимо рівність

.Вона має назву тотожності Коші. Доведемо спочатку цю рівність. Нехай є r дівчат і s юнаків. Праворуч маємо кількість способів вибрати з них усіх n осіб. Кожний доданок у сумі ліворуч задає кількість способів вибрати n осіб так, щоб серед них було k дівчат з r і n-k юнаків з s. Додавання цих кількостей по всіх можливих значеннях k дає кількість всіх способів вибрати з них усіх n осіб. Отже, вирази ліворуч і праворуч задають одну й ту саму кількість, тобто рівні. Якщо тепер замінити назад k на k+m, а n на n+m, одержимо початкову рівність.

Таблиця біноміальних коефіцієнтів зображається ще у вигляді так званого арифметичного трикутника, або трикутника Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

…